Zeitraum: 04/2022 - 03/2024
Projekt: Lyapunovtheorie trifft Randwertregelung
Projektleiter: Dr. Andrii Mironchenko
Förderung: DFG

Nichtlineare verteilte Parametersysteme werden verwendet, um eine breite Palette von Phänomenen zu modellieren, einschließlich chemischer Reaktoren, Fluid- und Gasdynamik, Verkehrsnetze, Mehrkörpersysteme, Fluid-Struktur-Kopplungen usw. Für viele Klassen solcher Systeme ist bekannt, dass kleine Störungen aufgrund von Aktuator- und Beobachtungsfehlern, versteckter Dynamik und externen Störungen die Leistungsfähigkeit des Systems drastisch verringern, die Stabilität verändern oder sogar das Kontrollsystem destabilisieren können. Um diesen Herausforderungen zu begegnen, müssen Methoden für den Entwurf robuster Regler und Beobachter für nichtlineare Randwertkontrollsysteme (RKS) entwickelt werden, die die Zuverlässigkeit und Effizienz von Systemen im geschlossenen Regelkreis gewährleisten. Dieses Ziel muss trotz der Tatsache erreicht werden, dass üblicherweise unendlichdimensionale Systeme mit endlich vielen (und oft sehr wenigen) Aktuatoren und Sensoren gesteuert werden müssen, die möglicherweise nur zu bestimmten diskreten Zeitpunkten aktualisiert werden können und die häufig nur am Rand eines gegebenen räumlichen Bereichs platziert werden können.Um diese Probleme anzugehen, stützen wir uns auf die Theorie der Eingangs-Zustands Stabilität (engl. input-to-state stability, ISS), die eine herausragende Rolle in der robusten nichtlinearen Kontrolltheorie spielt. ISS vereinheitlicht die Begriffe der gleichmäßigen asymptotischen Stabilität und der externen Stabilität und bietet effiziente Methoden zur Untersuchung der Stabilität gekoppelter nichtlinearer Kontrollsysteme mittels Lyapunov- und Small-Gain-Methoden. Die ISS-Theorie unendlichdimensionaler Systeme hat sich in den letzten Jahren zu einer starken interdisziplinären Theorie entwickelt, die auf den Methoden der nichtlinearen Systemtheorie, partieller Differentialgleichungen und Operatortheorie basiert.In diesem Projekt entwickeln wir eine systematische ISS-Theorie für nichtlineare RKS unter Verwendung einer Synergie aus Lyapunov-Analyse und operatortheoretischen Methoden (Halbgruppen- und Zulässigkeitstheorie). Wir analysieren die Anwendbarkeit klassischer Lyapunov-Methoden für die ISS-Analyse von linearen RKS und entwickeln konstruktive konverse nicht-koerzive ISS Lyapunov Theoreme für lineare Systeme. Daraufhin charakterisieren wir die Wohlgestelltheit nichtlinearer RKS und erweitern unser Design von Lyapunov-Funktionen für lineare RKS auf den nichtlinearen Fall. Als wichtige Anwendung dieser Maschinerie schlagen wir Konstruktionen von ISS-Lyapunov-Funktionen für lineare und nichtlineare Reaktionsdiffusionsgleichungen sowie für Burgers-Gleichungen vor, die derzeit wichtige offene Probleme sind.Im zweiten Teil dieses Projekts benutzen wir unsere Techniken für die Entwicklung robuster Randkontroller und Beobachter für PDE-Systeme, für die robuste ereignisbasierte Kontrolle und für die robuste Stabilisierung von PDE-ODE-Kopplungen.