Kontinuierliche und Diskrete Optimierung

Wir forschen am Lehrstuhl für Mathematische Optimierung sowohl an undendlich-dimensionalen kontinuierlichen Optimierungsproblemen (z.B.  die Optimierung von dynamischen Flüssen in Transportnetzen) wie auch endlich-dimesionale und diskrete Optimierungsprobleme. Diskrete Probleme weisen in der Regel eine problemspezifische kombinatorische Struktur der Lösungsmenge auf. Ein klassisches Beispiel ist das Kürzeste Wege Problem. Hier ist ein Graph gegeben und die Lösungsmenge ist implizit durch die Menge von Wegen, die einen vorgegeben Startknoten mit einem Endknoten verbinden, beschrieben. Häufig sind die jeweiligen Optimierungsprobleme durch eine konkrete Anwendung aus der Praxis motiviert.

In der Arbeitsgruppe forschen wir sowohl an exakten, als auch an approximativen Verfahren, die in Polynomialzeit optimale Lösungen bzw. solche mit einer garantierten Güte berechnen.

Algorithmische Spieltheorie und AI

Die nichtkooperative und kooperative Spieltheorie bieten mathematische Beschreibungen von dezentral organisierten Systemen an (z. B. Verkehrssysteme und das Internet); ein fundamentales Konzept der nichtkooperativen Spieltheorie ist z. B. das sogenannte Nashgleichgewicht. Ein zentraler Forschungsschwerpunkt der Arbeitsgruppe ist eine algorithmische Sicht auf die Themenkomplexe Existenz von Gleichgewichten, Berechnungskomplexität von Gleichgewichten und Qualität von Gleichgewichten. 
Im Gebiet des AI sind Systeme mit strategisch agierendenden Entitäten allgegenwärtig (siehe autonomes Fahren, Einsatz von Robotersystemen, etc.). Eine zentrale Charakteristik dieser Systeme ist die Optimierung von einzelnen Entscheidungen unter unsicherer Information über die Strategien der anderen Spieler bzw. bzgl. unter exogenen Einflussfaktoren.  Wir arbeiteten am Lehrstuhl  an der mathematischen Beschreibung von solchen gekoppelten  Optimierungsproblemen unter Unsicherheit mithilfe von geeigneten Vorhersagefunktionen. Eine wichtige Anwendung dieses Themegebiets stellt die Modellierung und Analyse von Verkehrsnetzen dar.

Bilevel Optimierung

Eine Optimierung von Systemen, die durch Gleichgewichtsbedingungen charakterisiert sind, fällt in das Gebiet der bilevel Optimierung. Probleme dieser Klasse sind recht schwierig zu lösen, da sie in der Regel nicht-konvex und auch nicht-differenzierbar sind. In diesem Bereich wird an den Themen Optimales Netzwerkdesign unter Gleichgewichtsbedingungen, Design von kombinatorischen Auktionen und Design von optimalen Kostenverteilungen in Netzwerken gearbeitet. Insbesondere wird in der Arbeitsgruppe an der Optimierung von Ampelschaltungen, dem Einsatz von Navigationsgeräten und an einer optimalen Netzplanung (unter Berücksichtigung von Nutzergleichgewichten) gearbeitet.